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SAT/ACT 수학, AP Calculus 개인지도. 공학박사
2024-02-18, 16:14:47 sorine	추천수 : 1019 \| 조회수 : 25550

IP : 74.XXXX.184.107

===  고등학생 SAT, ACT, AP 수학 과외 개인지도  ===
(중학생 학교 수학, SSAT, AMC 8, Math Olympiads 등은 중학생들 반응이 좋은 다른 선생이 지도)
이메일: bostonsorine @ yahoo . com (공백 제거)
 - 대학 입학 당시 한국에서 커트라인이 가장 높은 학과에 장학생으로 입학 - 전자/컴퓨터 분야 미국 탑 대학 박사 * 오랫동안 다수의 학생을 지도하여, 수학을 어려워 하는 학생도 성적을 크게 향상 시킴 * 지난 15년 이상의 SAT/ACT 기출 문제 및 연습 문제들을 직접 풀고 분석하여 만든 Study Note 제공 * 기출문제를 풀면서, 문제의 의미 파악과 쉬운 풀이법, 그리고 TI 계산기 사용법 지도 * 제가 직접 만든 실전 TI-84 계산기 프로그램 제공 (TI-84 Plus CE 계산기)   이것은 실제 SAT 시험 중에 사용할 수 있는 프로그램으로 스스로 풀기 어려운 문제들을 풀 수 있게 해주며, 스스로 풀 수 있는 문제들도 더 빨리 풀 수 있도록 해줍니다. 원래는 SAT Subject Test에 주로 쓰인 프로그램인데, SAT Math에서도 이차방정식이나 원의 방정식 등을 풀 때 도움이 됩니다.(물론 SAT Math는 이런 프로그램을 사용하지 않고도 풀 수 있지만...) 그리고, Digital SAT를 위해서 Desmos 계산기 사용법도 공부합니다.
SAT/ACT Math, 또는 AP Calculus AB/BC 시험을 준비하는 학생은 연락주시기 바랍니다. 학교 수업 (Pre-Calculus, Calculus 등)도 도와드립니다. AP Calculus는 AP 기출문제를 분석 정리한 것과 학교 숙제 테스트에 필요한 내용들을 사용합니다. 수업은 보통 영어로 합니다.
방문해서 대면수업 또는 Microsoft Skype로 원격수업 진행 (요즘은 주로 online remote로 합니다.) - First session free! 온라인으로 시범수업을 해보고 결정하세요.
* 이메일: bostonsorine @ yahoo . com (공백 제거)
연락 주시면, 대입관련 SAT/AP 설명 슬라이드 자료를 보내드릴 수 있습니다.     (9)  PSAT, National Merit Scholarship    (10) SAT 변경 사항, Digital SAT, SAT 점수    (11) Test Blind/Optional, Superscore, Score Choice, QAS    (12) SAT 등록, 언제 시험 치는 것이 유리하나, 시험장에 갈 때, SAT와 ACT 비교, SAT Math    (13) AP: Advanced Placement 시험
설명 클릭:      <a style="color: #0000ff;" href="http://sorine12.blogspot.com/2022/09/psat-national-merit-scholarship.html">PSAT 시험과 내셔널메릿장학생 선발</a>      <a style="color: #0000ff;" href="http://sorine12.blogspot.com/2022/12/sat.html">SAT 시험장에 갈 때</a>      <a style="color: #0000ff;" href="http://sorine12.blogspot.com/2022/12/sat-qas-sas.html">SAT 시험치고 문제와 정답 보기 (QAS와 SAS 구별 주의)</a> 
--------------------------------------------------------------------- 다른 시험과 마찬가지로 SAT/ACT Math 시험을 위해서는 먼저 크게 다음 두가지 능력이 필요합니다. (1) 기본 지식: 기본 개념을 이해하고 주요 공식과 계산법을 알기 (2) 문제의 이해와 응용: 문제를 읽고 문제의 포인트를 이해하고 어떤 기본 개념과 공식을 이용해야 할지 판단하기
점수가 낮게 나오는 것은 먼저 기본지식이 부족하기 때문인 경우가 많습니다. 그런데, 학생들이 혼자 공부를 할 때 책의 풀이를 보면 다 알 것 같은데 막상 시험 때 잘 안되는 것은, 기본지식이 아직 충분하지 않은 것과 더불어, 스스로 문제의 포인트를 찾고 어떤 방법으로 풀지 생각하는 능력, 즉 풀이의 시작점을 찾는 능력이 부족하기 때문입니다. 저와 함께 이에 대한 연습을 하며 스스로 문제를 푸는 능력을 향상시킬 것입니다.
학교 수업과 시험에서, 그 단원에 배운 몇가지 공식을 외워서 비슷하게 나온 문제에 적용해서 푸는 경우가 많아서, 넓은 범위에서 약간 다른 형식으로 나온 문제에 대해서 어느 개념과 공식을 사용하면 좋을지 판단하는 것이 부족하기 쉽습니다.
저와 함께 문제의 패턴과 키워드를 파악하고 문제를 푸는 다양한 방법을 연습하며 문제의 핵심을 찾아서 더 쉽게 푸는 방법을 사용할 수 있는 능력을 키우고 rough estimate로 가능한 답과 가능하지 않은 답을 빨리 구별하여 실수를 방지하는 연습도 할 것입니다.
수학은 눈으로 푸는 것이 아니라 손으로 푸는 것입니다. 강의를 듣기만 하는 것이 아니라, interactive하게 학생이 자신의 생각을 말하고 실제로 문제를 풀어야 합니다. 그리고, 틀린 문제는 눈으로 해답을 보고 지나가는 것이 아니라 실제로 다시 풀어서 확인해야 합니다.
답이 맞기만 하면, 별로 좋지 않은 방법으로 푼 문제를 다시 검토하지 않는 학생들이 있습니다. 저는 수업 때 틀린 문제뿐만 아니라, 맞은 문제에 대해서도 더 효율적인 다른 풀이 방법이 있는지 얘기합니다. 만약 학생이 저와 틀린 문제만 확인하고 맞은 문제는 다시 검토하려 하지 않는다면, 발전이 적고 저와는 잘 맞지 않을 것입니다.
또 College Board의 연습문제나 다른 유명 회사의 시험 준비서를 보면, 더 쉽고 효율적인 방법을 나두고 시간이 더걸리고 어려운 방법을 사용한 좋지 않은 풀이가 종종 있습니다.
예를 들어서, square-root 가 포함된 방정식 문제에 대해서...
[Q1]  What is the solution set of the equation  √(2x + 6) = x − 1 ?        (A)  {-1}        (B)  {5}        (C)  {-1, 5}        (D)  {0, -1, 5}
학교에서 가르치고 College Board 풀이에도 나오는 표준 방법은 다음과 같습니다.
주어진 방정식 양변을 제곱해서 square-root를 없애면: (2x + 6) = x² - 2x + 1 --> 이 2차방정식을 정리하면: x² – 4x – 5 = 0 --> Factoring으로 근(root)을 구하면: (x + 1)(x - 5) = 0 --> x = -1 or 5 --> 이렇게 찾은 값을 원래 주어진 방정식에 대입하면, x = -1 은 성립하고 않고, x = 5 만이 답이 됩니다. --> Answer: (B)
학교와 책에서 이렇게 가르치기 때문에 SAT 시험에서도 이렇게 푸는 학생들이 많은데, 실제 SAT 시험에서는 이런 풀이 과정이 필요없고, 그냥 주어진 answer choice의 값들을 원래 방정식에 대입하는 것이 훨씬 쉽고 효율적입니다.
그리고, √(4) = 2 or -2 라고 잘못 알고 있는 학생들이 있는데, √(4) = 2 이고 음수 -2가 아님을 알아야 합니다. 이것을 모르고 위 문제에 (C)라고 답하는 학생들이 상당수 있습니다.
학교에서 배운 정식 풀이 방법을 잘 몰라도 계산기를 이용해서 풀 수 있는 경우도 많은데, 이를 잘 사용하지 못하는 학생들도 많습니다. 효율적인 계산기 사용법을 익힐 필요가 있습니다.
 또다른 문제의 예
[Q2]  주어진 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 roots α, β의 sum (= α + β)과 product (αβ)를 구하는 문제가 있는데 (최근 SAT 시험에는 sum 문제만 나왔음), 많은 책에 나오는 일반적인 풀이는 다음 공식을 사용하는 것으로, 이 공식을 기억한다면 별로 어려운 문제는 아닙니다. 이 공식 자체도 그리 복잡한 것이 아니구요.    α + β = -b/a        αβ = c/a
하지만 문제는, 생각보다 많은 학생들이 이 공식을 모르고 있으며, 지금 이 공식을 암기했다고 해도 조금 시간이 지나면 쉽게 잊어버리거나 이런 공식이 있다는 것은 대략 기억하지만 정확히 어느 것이 맞는지 헷갈리게 된다는 것입니다. (-b/a 또는 b/a 인지, 곱하기가 c/a 인지 더하기가 c/a 인지, 또는 -c/a 인지, 아니면 그냥 c 인지) 
그래서, 헷갈리지 않고 이 공식을 기억할 수 있는 방법을 공부해야 하고 (즉, 이 공식 자체를 기억하기 보다는 이 공식이 만들어지는 원리를 이해하도록), 그것이 어렵다면 이 공식을 모르고도 문제를 풀 수 있는 다른 방법이 있는지 공부할 필요가 있습니다.
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그리고, 숫자에 대한 감을 익힐 필요가 있습니다. 그러면, 말이 되지 않는 답을 선택하는 실수를 줄일 수 있습니다.
[Q3] A cloth is on sale for 40% off its original price. If the sale price of the cloth is $28, what was the original price? 어떤 옷이 40% 할인을 해서 세일가격이 $28 이라면, 할인 전 원래가격은 얼마인가? (A) $11.20 (B) $16.80 (C) $46.66 (D) $70.00 --> 이 문제를 $28 * 0.60 = $16.80 --> 이렇게 해서 (B)를 선택하는 학생이 있습니다. 하지만, 원래가격은 세일가격보다 높아야 한다는 것을 생각하면, 이것이 답이 될 수 없다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
또는 $70 * 0.40 = $28 로 생각하고, (D)를 선택하는 학생도 있는데요. 40% 할인이면, 세일가격은 원래 가격의 반보다 조금더 비싸게 되므로 만약 원래가격이 (D) $70 이라면, 세일 가격은 $35 보다 비싸게 아마 $40 정도 (또는 좀더 많이)가 될 것으로 예측할 수 있습니다. 즉, 이것도 답이 아닌 것을 알 수 있습니다.
 [Q4] Printer B prints twice as many pages as printer A per hour. If it takes 4 hours for printer A to finish a printing task, how many hours will it take to finish the same task by using the both printers ? 어떤 Printing Job을 마치는데, Printer A만 사용하면 4시간이 걸리고, Printer B만 사용하면 2시간이 걸린다면, Printer A와 B를 함께 사용했을 때 몇시간이 걸리나? --> 이 문제를 4시간과 2시간의 평균으로 생각해서, 3시간이라고 답하는 학생이 있습니다. 하지만, 프린터 B 하나로 2시간 걸릴 때, 프린터 A와 B 두개를 사용하면 시간이 더 적게 걸려야 하므로, 3시간은 답이 될 수 없습니다.
대략 간단히 예측하자면, 만약 혼자 4시간 걸리는 느린 Printer A를 두개 사용하면, 이의 반인 2시간 걸릴 것이고, 만약 혼자 2시간 걸리는 빠른 Printer B를 두개 사용하면, 이의 반인 1시간 걸릴 것입니다. 그러므로, Printer A와 B를 함께 사용하면, 이 두경우의 중간 근처인 1.5 시간 정도 걸릴 거라고 예측할 수 있습니다. (정확히 1.5 시간은 아님)
------------------------ * SAT Math 시험범위 - Algebra 2 중심 - Geometry - Data Analysis & Statistics: Mean, Median, Range, Standard Deviation, Survey, Sampling, Margin of Error
* 2016년 변경 때, Precalculus 내용 일부 추가 (기본 내용 중심. 복잡한 공식은 다루지 않음) - 삼각함수: sin(x), cos(x), tan(x) 기본 정의, Complementary angles: sin(30°) = cos(60°) - Complex Numbers (복소수) -> Digital SAT에서 제외됨 - 원의 방정식: (x – h)² + (y – k)² = r², x² + y² + cx + dy + e = 0
* Precalculus: SAT에 나오지 않는 내용 (ACT에는 나옴) - Logarithmic functions (SAT Exponential 문제를 Log를 이용해서 풀 수도 있으므로, 알고 있으면 도움이 될 것임) - Trigonometry: 삼각함수의 복잡한 공식 Law of Sine, Law of Cosine, 등 - Polar functions - Parametric functions - Vectors - Matrices - Conic sections (Ellipse, Hyperbola) - Modulus operation, 등
------------------ SAT Practice Test는 College Board에서 나온 "Official SAT Study Guide" (소위 "Blue Book") 책을 사용할 수 있습니다. (College Board와 Khan Academy의 웹싸이트에 online으로 있는 Practice Test 문제도 같은 것임) <a href="https://satsuite.collegeboard.org/sat/practice-preparation">https://satsuite.collegeboard.org/sat/practice-preparation</a> <a href="https://satsuite.collegeboard.org/sat/practice-preparation/sat-study-guide">https://satsuite.collegeboard.org/sat/practice-preparation/sat-study-guide</a>
또, Princeton Review, Kaplan, Barron's 등 보다는 위 "Blue Book"과 실제 기출문제를 사용하는 것이 좋습니다. 인터넷에서 검색하면 SAT 기출문제를 찾을 수 있는데, 문제에 typo가 있거나 정답이 잘못된 경우가 있음을 유의하시기 바라며, 제가 사용하는 문제들은 모두 제가 직접 풀어서 확인한 것입니다.
SAT Math는 문제에 주어진 질문과 수식의 의미 파악이 중요하고, 풀이에 필요한 공식이나 풀이과정은 별로 어렵지 않은데, 헷갈리는 문제가 좀 있습니다. ACT Math는 시험 범위가 Pre-Calculus까지로 공식을 좀더 많이 알아야 하고, 헷갈리는 문제가 SAT보다 적지만 좀더 빨리 풀어야 합니다. AP Calculus는 공부 분량이 상당히 많습니다. 기본 내용들을 충분히 이해하지 않으면, 단순히 공식을 암기하는 것으로는 문제를 제대로 풀기 어렵습니다.
아이들 중에서는 학교 수학 성적은 A 학점을 받는데, SAT/ACT 성적은 생각보다 낮게 나오는 경우가 있습니다. 기본 내용은 잘 알지만 SAT/ACT 시험 문제 스타일에 익숙하지 않거나 시험 요령이 부족해서 그런 것으로 조금 연습하면 점수를 올릴 수 있는 경우도 있지만, 넓은 범위의 문제에 잘 모르는 내용이 여러가지 있어서 점수를 올리기가 쉽지 않은 경우도 많습니다. 아직 본격적으로 준비를 하지 않더라도 좀 일찍 SAT/ACT 기출문제로 모의시험을 쳐서, 부족한 부분을 미리 점검해보는 것이 좋다고 생각합니다.
물론, 학교 공부를 충실히 하고 학년이 올라가면 대부분 SAT/ACT 점수도 올라가므로, 너무 일찍부터 SAT/ACT를 빨리 끝내야 한다고 조급해 할 필요는 없을 것입니다.
--------------------
"SAT 수학은 한국 아이들 거의 다 만점 받아요"라고 말하는 사람들이 있는데요, 수학을 잘하는 한국 아이들이 많은 것은 사실이지만, 그렇다고 누구나 쉽게 만점을 받는 것은 아닙니다. 주위나 인터넷 게시판에서 점수가 잘 나온 아이의 경우를 주로 얘기하고, 점수가 잘 나오지 않은 아이는 별로 얘기를 하지 않아서, 실제보다 과장되게 느끼는 것 같습니다.
아래에 보인 MA주에서 SAT 수학 점수가 가장 높은 공립학교의 아시안 평균점수가 715-730점으로 매우 높기는 하지만 전국 아시안 평균점수는 640점 정도로, 성적이 아주 높은 고등학교에도 700점 이하인, 그리고 대부분 학교에 650점 이하인 아시안 학생이 상당히 많습니다.
* 보스턴 근처 공립 고등학교의 SAT 영어/수학 평균점수 (아시안과 전체 학생 비교) (아시안이 많고 점수가 높은 학교를 중심으로...)
고등학교: . . . . . . . . . 아시안 영어/수학 (전체 영어/수학) Acton-Boxborough Regional: 684/724 (655/681) Andover High: . . . . . . . . . . 640/687 (611/619) Arlington High: . . . . . . . . .  605/629 (626/619) Bedford High: . . . . . . . . . .  662/694 (618/620) Belmont High: . . . . . . . . . . 678/715 (653/662) Boston Latin School: . . . . . . 657/688 (647/652) Brookline High: . . . . . . . . .. 642/685 (644/650) Cambridge Rindge and Latin: 568/599 (604/590) Concord Carlisle High: . . . .. 668/691 (644/648) Dover-Sherborn Regional: . 669/718 (643/645) Lexington High: . . . . . . . . . 676/720 (663/688) Needham High: . . . . . . . . . 655/678 (637/640) Natick High: . . . . . . . . . . .. 626/644 (597/589) Newton North High: . . . . . 630/669 (622/627) Newton South High: . . . . . 641/684 (636/648) North Quincy High: . . . . . . 558/607 (562/589) Sharon High: . . . . . . . . . .. 664/705 (643/661) Wellesley Sr High: .  . . . . .. 693/730 (640/650) Weston High: . . . .  . . . . . . 677/728 (639/658)
<a style="color: #0000ff;" href="https://profiles.doe.mass.edu/search/search.aspx">https://profiles.doe.mass.edu/search/search.aspx</a> MA주 교육부 School Profile Search Type(s): Public School --> Get Results --> Click a school --> Assessment --> SAT Performance
예를 들어서, <a style="color: #0000ff;" href="https://profiles.doe.mass.edu/sat/sat_perf_dist.aspx?orgcode=02070510&orgtypecode=6&">https://profiles.doe.mass.edu/sat/sat_perf_dist.aspx?orgcode=02070510&orgtypecode=6&</a>
--------------------------------------------------------
어떤 선생은 많은 학생들을 가르치기 때문에, 또는 다른 일로 시간이 부족해서 학생들을 가르치기 전에 학생들이 푼 문제를 미리 검토하지 않고 가르치면서 즉석에서 보면서 설명을 하기도 하지만,
저는 학생에게 숙제한 것을 미리 보내게 해서, 학생의 문제풀이 내용을 미리 검토하여 어떤 부분의 이해가 부족한지, 어떤 부분에서 실수를 하는지 등을 파악하고 그 내용을 어떻게 설명하면 학생이 더 쉽게 이해할지 연구하며, 답이 맞은 문제에 대해서도 더 좋은 풀이 방법을 정리하는 등 학생에게 맞춤형으로 미리 한번더 준비해서 가르칩니다. 대신 많은 학생을 가르칠 수는 없습니다.
각 학생의 상황과 목표에 맞춰 최선의 결과를 위해서 도와드리며 두자녀 모두 본인들이 원하는 아이비리그 대학에 진학한 학부모 입장에서 무료 상담도 해드립니다.
-----------------------
* SAT에 대한 보스톤코리아의 기사에 대한 저의 댓글 <a style="color: #0000ff;" href="/news.php?mode=view&num=33250">https://www.bostonkorea.com/news.php?mode=view&num=33250</a>
SAT 성적 미네소타주 최고, 매사추세츠는 15위에 불과
<a href="/news.php?code=ed&mode=view&num=36932">https://www.bostonkorea.com/news.php?code=ed&mode=view&num=36932</a>
경제력 평가된 美SAT…고득점자 3명 중 1명은 '0.1% 금수저'
 
------------------------------------------------------------- *** Can you solve the following questions?
<img style="width: 100%; height: auto;" src="https://data.bostonkorea.com/202112/20211201192550_2a141000.png" />

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